Insieme di elementi che tra loro possono essere:
Sottoinsieme di uno spazio vettoriale le cui somma e scala sono chiuse nel sottoinsieme stesso.
Un classico sottospazio è una riduzione di dimensioni di uno spazio, come uno spazio 3D che diventa un piano 2D.
L'intersezione tra due sottospazi vettoriali è essa stessa un sottospazio vettoriale.
Sottospazio vettoriale generato da e traslato di :
È l'astrazione di una retta euclidea in uno spazio vettoriale reale e multidimensionale.
Infatti, al variare di , il vettore sposta avanti e indietro in quella direzione, disegnando una retta.
Limite del rapporto incrementale nella direzione per uno spazio multidimensionale:
è il punto fermo su cui viene effettuato il limite, mentre è il vettore direzionale che viene scalato sempre più "in piccolo".
Il suo opposto è:
Se esistono entrambe le derivate direzionali unilaterali opposte per un dato punto e una data direzione, allora si ha una derivata direzionale bilaterale:
Derivata direzionale bilaterale nella direzione dell'-esimo vettore della base canonica :
Ovvero la pendenza lungo uno degli assi.
Vettore contenenti tutte le derivate parziali di una funzione rispetto a ogni elemento della base canonica:
Se il gradiente esiste, allora la funzione è differenziabile in .
Se il gradiente è continuo, allora la funzione è regolare in .
Matrice quadrata che applica alla derivata parziale un'altra derivata parziale:
Dà informazioni sulla curvatura.
L'astrazione multidimensionale della derivata seconda.
In una funzione che restituisce vettori, è una matrice quadrata costituita dal gradiente nei confronti di ogni elemento del vettore restituito:
Usando le proprietà della moltiplicazione matriciale, la direzione che ci interessa e il gradiente , possiamo trovare in modo semplice tutte le derivate direzionali, l'inclinazione della funzione:
Come per l'inclinazione, sfruttando la direzione che ci interessa e l'Hessiana , possiamo trovare in modo semplice tutte le derivate seconde, la curvatura della funzione:
Insieme di tutti i punti di una funzione multidimensionale con lo stesso "valore", ovvero tali che:
basically come trovare il gradiente di una funzione lineare
ovvero come trovare il gradiente di una funzione quadratica
guess what goes here
utile per effettuare approssimazioni di funzioni troppo costose computazionalmente da calcolare
Sottospazio tale che:
Una funzione multidimensionale con un minimo unico.
Si dice strettamente convessa se c'è un punto solo di minimo.
Una funzione multidimensionale con un massimo unico.